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45. 跳跃游戏 II

难度：中等

题目

给定一个长度为 n 的 0 索引整数数组 nums。初始位置为 nums[0]。

每个元素 nums[i] 表示从索引 i 向后跳转的最大长度。换句话说，如果你在 nums[i] 处，你可以跳转到任意 nums[i + j] 处:

  • 0 <= j <= nums[i]
  • i + j < n

返回到达 nums[n - 1] 的最小跳跃次数。生成的测试用例可以到达 nums[n - 1]。

示例 1:

输入: nums = [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
     从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。

示例 2:

输入: nums = [2,3,0,1,4]
输出: 2

提示:

  • 1 <= nums.length <= 10^4
  • 0 <= nums[i] <= 1000
  • 题目保证可以到达 nums[n-1]

Reference

题解

如果使用动态规划，可以用dp[i]维护从第i个位置到最后一个位置的最小跳跃次数，状态转移方程为：

\[ \text{dp}[i] = \min(\text{dp}[i:i + \text{nums}[i] + 1]) + 1 \]

动态规划的时间复杂度为\(O(n^2)\)。

class Solution:
    def jump(self, nums: List[int]) -> int:
        length = len(nums)
        dp: List[int] = [length for _ in nums]
        dp[-1] = 0
        for index in range(length - 2, -1, -1):
            end = min(length, index + nums[index] + 1)
            dp[index] = min(dp[index:end]) + 1
        return dp[0]

另外，也可以正向遍历数组。用一个变量s记录跳跃次数，维护一个区间\([l_s, r_s - 1]\)记录最少需要s次跳跃才能到达的位置区间。则至少需要s + 1次跳跃才能到达的位置区间为

\[ [r_s, \max_{i \in [l_s, r_s - 1]}(i + \text{nums}[i] + 1)] \]

此法的时间复杂度为\(O(n)\)。

class Solution:
    def jump(self, nums: List[int]) -> int:
        l, r, step, length = 0, 1, 0, len(nums)
        while r < length:
            step += 1
            new_r = r
            for _ in range(l, r):
                new_r = max(new_r, _ + nums[_])
            l, r = r, new_r + 1
        return step

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