62. 不同路径¶

难度：中等

题目¶

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

Example

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

Reference

题解¶

从最后一行开始考虑，要到达右下角的方格，有两种方法：

从斜上方的方格开始，先向下后向右
从斜上方的方格开始，先向右后向下

由此即可得出状态转移方程。

int uniquePaths(int m, int n){
    if (m < n)
        return uniquePaths(n, m);
    int *dp = (int *)malloc(sizeof(int) * m), i = 0, j = 0;
    for (i = 0; i < m; i++)
        dp[i] = 1;
    for (i = 1; i < n; i++)
        for (j = 1; j < m; j++)
            dp[j] += dp[j - 1];
    return dp[m - 1];
}

或者可以使用排列组合，对于长为\(m\)，宽为\(n\)的方格，需要向右移动\(m - 1\)次，向下移动\(n - 1\)次，共\(m + n - 2\)次。

因此总的路径个数为\(m + n - 2\)个选择中中选择\(m - 1\)次向下移动的方案总数，该方案总数为：

\[ \frac{(m + n - 2)!}{(m - 1)!(n - 1)!} \]

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