目标规划¶
目标规划解决现实生活中的多目标决策问题。
设线性规划\((P)\)：
\[
\begin{aligned}
& \max z=c^Tx \\
& s.t. \left\{
\begin{aligned}
& AX \leq b \\
& X\geq 0
\end{aligned}
\right .
\end{aligned}
\]
假设优化问题的目标调整为：
寻找使得\(z\geq z_0\)的\(X\)，其中\(z_0\)为指定的目标。允许\(z > z_0\)但不允许\(z < z_0\)
此时的优化问题即为目标规划，引入两个松弛变量\(d^+, d^-\)，分别表示目标函数超出目标值的部分与不足目标值的部分，为保证目标函数超过目标值，可以按照如下方式建模：
\[
\begin{aligned}
& \max w = d^- \\
& s.t. \left\{
\begin{aligned}
& c^Tx - d^+ + d^- = z_0 \\
& AX \leq b \\
& X\geq 0
\end{aligned}
\right .
\end{aligned}
\]
由此可见，目标规划相当于在线性规划中引入一种新的约束条件，即目标约束。每个目标约束都需要引入一对变量\(d^+\)与\(d^-\)。如果优化问题中存在多个目标且之间存在优先级关系，可以使用\(P_i\)作为需要优化的目标函数系数。\(P_i\)满足\(P_1 \gg P_2 \gg \dots \gg P_n\)并且各\(P_i\)为足够大的正数。
目标规划的目标函数中只有偏差变量，目标规划的优化目标是最小化偏差变量。如果最优条件下\(Z=0\)，说明所有目标可以同时满足。
目标规划的求解方法¶
可以使用图解法或单纯形法对目标规划进行求解
图解法¶
使用图解法求解目标规划时，首先需要画出目标约束中的硬约束，再按照目标约束的优先级画出软约束，并注明约束偏差方向。按照约束的优先级依次划分能够满足约束的可行域。直到可行域为空或约束全部满足。
单纯形法¶
首先需要将单纯形法中的硬约束化为标准型。列出单纯形表后，逐步将包含在目标函数中的偏差从基中换出。并且尽可能使得非基变量的检验数为正（因目标规划的优化方向为最小化）。