预测与需求建模¶
经典模型（如滑动平均、指数平滑等）的缺陷在于：
- 经典模型持续依赖于历史观测数据
- 部分模型（如滑动平均）仅适用于平稳序列
- 产品的生命周期不同，如果一个产品的生命周期明显较短，意味着没有充足的历史数据对该产品进行预测。
本章讨论如下模型，这些模型可以用于预测生命周期较短的产品。
- Bass扩散模型
- 领先指标模型
- 选择模型
Bass扩散模型¶
Bass模型提出了扩散过程的概念。（某一类）新产品首次上市后，该产品的设计理念等内容会在市场上扩散（被模仿），造成同类产品的产量上升。
前提假设：
- 市场上的用户数量不变
- 用户可以被简单分为创新者与模仿者
- 创新者购买产品的决策不受到其他个体的影响
- 模仿者购买产品的决策受到其他个体的影响，这种影响方式通过个体间的交流实现
定义：\(P(t)\)为市场中的一个顾客在\(t\)时刻作出购买决策的概率
\[
P(t) = p + \frac{q}{m} D(t)
\]
- \(p\)为创新系数
- \(q\)为模仿系数，\(p\ll q\)
- \(m\)为消费者的总量，也即市场规模，常数
- \(D(t)\)为时间从\(0\)到\(t\)的累积购买量
即，市场上的累计需求\(D(t)\)越大，消费者越容易作出购买决策。
不妨设\(d(t) = \frac{\mathrm dD}{\mathrm dt}\)，即\(t\)时刻市场上购买人数，根据\(P(t)\)的定义，有：
\[
P(t) = \frac{d(t)}{m - D(t)}
\]
联立二式，得到：
\[
\begin{aligned}
p + \frac{q}{m} D(t) &= \frac{d(t)}{m - D(t)} \\
d(t) &= (m-D(t))\left(p + \frac qmD(t)\right) \\
d(t) &= -\frac qmD^2(t) + (q-p)D(t) + pm
\end{aligned}
\]
解微分方程\(\frac{\mathrm dD}{\mathrm dt} = -\frac qmD^2 + (q-p)D + pm\)，得\(D(t)\)：
\[
\boxed{\begin{aligned}D(t) &= m\frac{1-e^{-(p+q)t}}{1+\frac qp e^{-(p+q)t}} \\ d(t) &= m\frac{p(p+q)^2e^{-(p+q)t}}{\left(p+qe^{-(p+q)t}\right)^2}\end{aligned}}
\]
对\(d(t)\)进一步求导，得当且仅当\(t = \frac{1}{p+q}\log \frac{q}{p}\)时，\(d(t)\)取得最大值。
此时：
\[
\boxed{\begin{aligned}d(t) &= \frac{m(p+q)^2}{4q} \\ D(t) &= \frac{m(q-p)}{2q}\end{aligned}}
\]
结果说明：
- 当\(p\)很小时，意味着销售量的增长缓慢
- 当\(p, q\)很大时，意味着销售量的增长与下跌均迅速
- 仅当\(q>p\)时，上式才有意义，否则意味着销售量持续下跌